기초 [ChatGPT] 첨도(Kurtosis) 와 왜도(Skewness) 의 사용 용도

Kurtosis와 Skewness는 데이터 분포의 형태를 설명하는 두 가지 중요한 통계적 척도입니다.

이들은 주로 데이터가 정규분포(Normal Distribution)와 비교해 대칭성이나 꼭짓점(꼬리)의 형태에서 얼마나 다른지를 분석할 때 사용됩니다.

1. Skewness (왜도)

Skewness는 데이터의 비대칭성을 측정합니다.

즉, 데이터 분포가 평균을 중심으로 얼마나 대칭적이지 않은지를 나타냅니다.

• 양의 왜도 (Positive Skewness): 오른쪽 꼬리가 길고, 데이터가 왼쪽에 더 많이 몰려 있는 경우. 평균이 중앙값보다 큽니다.
  • 예: 소득 분포처럼 많은 사람들이 낮은 소득을 가지고, 일부 사람들이 매우 높은 소득을 가질 때.
• 음의 왜도 (Negative Skewness): 왼쪽 꼬리가 길고, 데이터가 오른쪽에 더 많이 몰려 있는 경우. 평균이 중앙값보다 작습니다.
  • 예: 시험 성적처럼 대부분의 학생이 높은 성적을 가지고, 소수의 학생이 낮은 성적을 가질 때.

사용 용도:

• 비즈니스: 판매 데이터에서 이상값을 분석할 때, 판매량이 특정 구간에 집중되어 있는지, 극단적인 값이 많은지 분석합니다.
• 금융: 자산 수익률의 왜도를 분석하여, 자산 가격이 어떻게 분포되는지, 리스크가 어느 쪽으로 치우쳐 있는지 판단합니다.

예시:

$$\text{Skewness}=\frac{n}{(n-1)(n-2)}\sum \left(\frac{(x_i-\bar{x}{)}^3}{s^3}\right)$$

• $x_i$: 개별 값
• $\bar{x}$: 평균
• $s$: 표준편차
• Skewness가 0에 가까우면 대칭적인 분포, 0보다 크면 오른쪽으로, 작으면 왼쪽으로 비대칭적인 분포입니다.

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2. Kurtosis (첨도)

Kurtosis는 데이터의 분포가 평균 근처나 꼬리 부분에서 얼마나 두터운지(꼬리의 뾰족함)를 측정합니다.

다시 말해, 분포가 꼬리가 두꺼운지 또는 뾰족한지를 나타냅니다.

• Leptokurtic (첨도가 큰 분포): 꼬리가 두꺼워서 극단적인 값이 자주 발생합니다. 정규분포보다 꼬리가 더 두꺼운 분포를 의미합니다.
  • 예: 금융 시장의 극단적인 변동.
• Platykurtic (첨도가 작은 분포): 꼬리가 얇고 극단적인 값이 잘 발생하지 않습니다. 정규분포보다 덜 뾰족한 분포를 나타냅니다.
  • 예: 안정적인 시장이나, 안정된 제품의 판매량.
• Mesokurtic (정규분포와 유사한 첨도): 정규분포와 비슷한 분포. 정규분포의 kurtosis는 3으로 설정됩니다.

사용 용도:

• 금융: 자산의 수익률이 극단적인 리스크를 가지는지(꼬리가 두꺼운지) 분석할 때.
• 품질 관리: 제품의 특성 분포가 정규분포와 비교해 얼마나 안정적인지 또는 극단적인 값이 자주 나타나는지를 확인할 때.

예시:

$$\text{Kurtosis}=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}\sum \left(\frac{(x_i-\bar{x}{)}^4}{s^4}\right)-\frac{3(n-1{)}^2}{(n-2)(n-3)}$$

• $x_i$: 개별 값
• $\bar{x}$: 평균
• $s$: 표준편차
• Kurtosis가 3보다 크면 극단적인 값이 많고, 3보다 작으면 분포가 더 평평합니다.

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차이점 요약:

• Skewness는 분포의 대칭성을 측정합니다. (오른쪽으로 치우침 또는 왼쪽으로 치우침)
• Kurtosis는 분포의 꼬리 두께와 뾰족함을 측정합니다. (극단값의 발생 빈도)

사용 예시:

• Skewness와 Kurtosis는 데이터의 정상성(정규성을 가정하는지 여부)을 판단하는 데 사용되며, 데이터의 분포 형태를 이해하고, 이상값을 분석하거나, 리스크 평가에 활용됩니다.