기초 [ChatGPT] 표본 분산(Sample Variance)

표본 분산(Sample Variance)은 데이터 분석에서 데이터가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지를 측정하는 지표입니다.

이는 분산(Variance)의 한 형태로, 모집단의 데이터가 아닌 표본 데이터를 가지고 계산한 값입니다.

표본 분산은 표본의 값들이 평균으로부터 어느 정도 떨어져 있는지를 보여주며, 데이터의 변동성을 평가하는 데 중요한 역할을 합니다.

표본 분산 계산 방법

표본 분산은 다음의 단계를 거쳐 계산됩니다:

1. 표본의 평균(Sample Mean)을 구합니다.

   $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

   여기서 $n$은 표본의 크기(개수), $x_i$는 각 표본 값입니다.
    

2. 각 표본 값에서 평균을 뺀 차이(편차)를 구한 후 제곱합니다.

   $$(x_i-\bar{x}{)}^2$$$$(x_i - \bar{x})^2$$

3. 이렇게 구한 제곱 값을 모두 더한 후, 표본의 크기에서 1을 뺀 값으로 나눕니다.
   이는 표본 데이터를 이용해 모집단의 분산을 추정할 때의 편향을 보정하기 위해서입니다.

   $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$

   여기서 $s^2$가 표본 분산입니다.

표본 분산의 의미

• 분산은 데이터 값들이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
  값이 클수록 데이터가 평균으로부터 많이 퍼져 있다는 뜻이고, 값이 작을수록 데이터가 평균 근처에 몰려 있다는 의미입니다.
• 표본의 크기에서 1을 빼는 이유는 자유도(degrees of freedom)를 보정하기 위해서입니다.
  표본 평균을 계산할 때, 표본의 데이터 중 하나는 평균을 기준으로 결정되므로, 실제로는 $n-1$개의 자유도를 가지게 됩니다.
  이를 통해 모집단 분산의 편향된 추정값을 줄일 수 있습니다.

예시

다음과 같은 표본 데이터가 있다고 가정해 봅시다:
 

1. 표본 평균을 구합니다:

   $$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6$$

2. 각 데이터에서 평균을 뺀 후 제곱합니다:

   $$(2 - 6)^2 = 16, \quad (4 - 6)^2 = 4, \quad (6 - 6)^2 = 0, \quad (8 - 6)^2 = 4, \quad (10 - 6)^2 = 16$$

3. 제곱된 값들의 합을 구합니다:

   $$16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$$

4. 표본 크기 $n = 5$에서 1을 뺀 값으로 나눕니다:

   $$s^2 = \frac{40}{5 - 1} = \frac{40}{4} = 10$$

   따라서, 표본 분산은 10입니다.

표본 분산과 표준 편차의 관계

표본 분산은 제곱된 값을 기반으로 하기 때문에 데이터의 실제 변동성을 직관적으로 이해하기 어려울 수 있습니다.

이를 보완하기 위해 표준 편차(Standard Deviation)를 사용합니다.

표준 편차는 표본 분산의 제곱근을 취한 값으로, 원래 데이터와 동일한 단위를 가지므로 더 직관적입니다.

$$s = \sqrt{s^2}$$

표본 분산의 활용

표본 분산은 다음과 같은 상황에서 유용하게 사용됩니다:

• 데이터의 변동성을 파악하고, 데이터가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지 평가할 때.
• 통계적 추론에서 모집단의 분산을 추정하는 데 중요한 역할을 합니다. 표본 분산은 모집단의 분산을 예측하는 중요한 지표입니다.
• 데이터 분포의 특성을 이해하고 분석할 때 표준 편차와 함께 사용됩니다.

표본 분산은 데이터의 변동성을 나타내는 기본적인 지표로, 데이터 분석 전반에 걸쳐 중요한 역할을 합니다.